Elektronenbeugung

Worum geht es?

In der Elektronenbeugungsröhre treten aus einer Glühkathode Elektronen aus und werden mit der Spannung $U$ zur Anode hin beschleunigt. Danach fliegen sie durch eine sehr dünne Graphitfolie und treffen auf einen Leuchtschirm. Erwartet man Teilchen, sollte dort nur ein heller Fleck entstehen. Man sieht aber zusätzlich zwei helle Ringe – ein typisches Beugungsmuster, wie man es von Wellen kennt.

De Broglie hat 1924 vorgeschlagen: Auch Teilchen mit dem Impuls $p$ haben eine Wellenlänge,

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}.

Aus der Energie im elektrischen Feld $e \cdot U = \frac{1}{2} m v^2$ folgt $p = \sqrt{2 \cdot m \cdot e \cdot U}$ und damit

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m \cdot e \cdot U}} \approx \frac{1{,}226\,\text{nm}}{\sqrt{U/\text{V}}}.

Bei $U = 4\,\text{kV}$ ist $\lambda \approx 19{,}4\,\text{pm}$ – viel kleiner als die Wellenlänge von Licht, aber in der Größenordnung der Atomabstände im Kristall.

Graphit besteht aus vielen winzigen Kristallen, die in alle Richtungen gedreht sind. An parallelen Netzebenen mit dem Abstand $d$ verstärken sich die gestreuten Wellen nach der Bragg-Bedingung

2 \cdot d \cdot \sin\theta = k \cdot \lambda \qquad (k = 1, 2, \ldots).

Die hellen Ringe auf dem Schirm gehören zur ersten Ordnung $k = 1$ ; nur sie sind in der Simulation gezeichnet. Ringe höherer Ordnung sind in der Röhre viel schwächer.

Der Strahl wird dabei um $2\theta$ abgelenkt. Weil die Kristalle in allen Richtungen liegen, bilden alle abgelenkten Strahlen einen Kegel – auf dem Schirm im Abstand $L$ einen Ring mit

r = L \cdot \tan 2\theta \approx L \cdot 2\theta \approx \frac{L \cdot \lambda}{d}.

Graphit hat zwei wichtige Netzebenenabstände: $d_1 = 0{,}213\,\text{nm}$ (innerer Ring) und $d_2 = 0{,}123\,\text{nm}$ (äußerer Ring). In der Röhre ist $L = 13{,}5\,\text{cm}$ . Wichtig: $r \sim \lambda \sim \frac{1}{\sqrt{U}}$ – höhere Spannung, kleinere Ringe.

Welle und Teilchen: Auf dem Schirm kommt jedes Elektron an einem einzelnen Punkt an. Erst viele Elektronen zusammen zeigen das Ringmuster. Die Welle bestimmt nur, wo ein Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit auftrifft.

Zur Darstellung: Die de-Broglie-Welle im Strahl ist um ein Vielfaches vergrößert gezeichnet; ihre Länge ändert sich aber im richtigen Verhältnis mit $U$ . Der Schirm ist hier eben gezeichnet; echte Röhren haben einen gekrümmten Kolben, das ändert die Radien nur wenig. Relativistisch gerechnet wird $\lambda$ nur wenig kleiner: bei $4\,\text{kV}$ um etwa $0{,}2\,\%$ , bei $8\,\text{kV}$ um etwa $0{,}4\,\%$ . Das liegt weit unter der Messgenauigkeit; die Simulation rechnet deshalb nichtrelativistisch.

Ausprobieren

Beobachte den Schirm: Wie entsteht das Ringmuster aus einzelnen Elektronen? Beispiel laden
Verändere $U$ . Wie ändern sich Geschwindigkeit, Wellenlänge und die Ringe? Kleine Spannung · Große Spannung
Ziehe den gestrichelten Messkreis auf den inneren Ring und lies $r_1$ ab. Vergleiche mit $r_1 \approx \frac{L \cdot \lambda}{d_1}$ . Ring ausmessen
Nimm mit „Messreihe automatisch“ Messwerte auf. Welche Form hat der Graph $r$ über $U$ ?
Schalte auf $r$ über $\frac{1}{\sqrt{U}}$ um. Was erkennst du? Linearisierung

Aufgaben

Aufgabe 1: Wellenlänge der Elektronen

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Berechne Geschwindigkeit, Impuls und de-Broglie-Wellenlänge der Elektronen bei $U = 4{,}0\,\text{kV}$ ( $m = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}$ ).

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$v = \sqrt{\frac{2 e U}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 4000\,\text{V}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}}} \approx 3{,}75 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ , $p = m \cdot v \approx 3{,}42 \cdot 10^{-23}\,\text{kg}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}}$ , $\lambda = \frac{h}{p} \approx 1{,}94 \cdot 10^{-11}\,\text{m} = 19{,}4\,\text{pm}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 2: Ringradius vorhersagen

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Berechne den Bragg-Winkel und den Radius des inneren Rings bei $U = 4{,}0\,\text{kV}$ .

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$\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{2 d_1} = \frac{19{,}4\,\text{pm}}{426\,\text{pm}} \approx 0{,}0455$ , also $\theta_1 \approx 2{,}61°$ und $2\theta_1 \approx 5{,}22°$ . $r_1 = 13{,}5\,\text{cm} \cdot \tan 5{,}22° \approx 12{,}3\,\text{mm}$ . Die Näherung $r \approx \frac{L \lambda}{d}$ gibt ebenfalls $12{,}3\,\text{mm}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 3: Netzebenenabstand messen

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Bei $U = 5{,}0\,\text{kV}$ misst man für den inneren Ring $r_1 = 11{,}0\,\text{mm}$ . Bestimme den Netzebenenabstand $d_1$ .

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$\lambda = \frac{1{,}226\,\text{nm}}{\sqrt{5000}} \approx 17{,}3\,\text{pm}$ . $d_1 \approx \frac{L \cdot \lambda}{r_1} = \frac{135\,\text{mm} \cdot 17{,}3\,\text{pm}}{11{,}0\,\text{mm}} \approx 0{,}213\,\text{nm}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 4: Doppelte Spannung

Wie ändert sich der Ringradius, wenn man die Spannung von $4\,\text{kV}$ auf $8\,\text{kV}$ verdoppelt?

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$r \sim \lambda \sim \frac{1}{\sqrt{U}}$ , also wird $r$ um den Faktor $\sqrt{2}$ kleiner: $r_1 \approx \frac{12{,}3\,\text{mm}}{1{,}41} \approx 8{,}7\,\text{mm}$ . In der Simulation zeigen

Aufgabe 5: Auswertung mit Linearisierung

Erkläre, warum die Messpunkte im Diagramm $r$ über $\frac{1}{\sqrt{U}}$ auf einer Ursprungsgeraden liegen. Wie bestimmt man aus der Steigung $k$ den Netzebenenabstand? Linearisierung

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$r \approx \frac{L \lambda}{d} = \frac{L \cdot h}{d \cdot \sqrt{2 m e}} \cdot \frac{1}{\sqrt{U}}$ , also $r = k \cdot \frac{1}{\sqrt{U}}$ mit $k = \frac{L h}{d \sqrt{2 m e}}$ . Daraus $d = \frac{L h}{k \sqrt{2 m e}}$ . Die Simulation zeigt diese Auswertung nach einer Messreihe unter „Auswertung“.

Aufgabe 6: Spannung für einen bestimmten Ring

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Welche Spannung braucht man, damit der innere Ring den Radius $r_1 = 10\,\text{mm}$ hat? Rechne mit der Näherung $r \approx \frac{L \cdot \lambda}{d}$ .

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$\lambda \approx \frac{r_1 \cdot d_1}{L} = \frac{10\,\text{mm} \cdot 0{,}213\,\text{nm}}{135\,\text{mm}} \approx 15{,}8\,\text{pm}$ . Aus $\lambda \approx \frac{1{,}226\,\text{nm}}{\sqrt{U/\text{V}}}$ folgt $\sqrt{U/\text{V}} \approx \frac{1226\,\text{pm}}{15{,}8\,\text{pm}} \approx 77{,}7$ , also $U \approx 6000\,\text{V} = 6{,}0\,\text{kV}$ . Bei $6{,}0\,\text{kV}$ zeigt die Simulation $r_1 = 10{,}1\,\text{mm}$ ; der Messkreis mit $10\,\text{mm}$ liegt auf dem Ring. In der Simulation zeigen

Aufgabe 7: Warum nicht mit Licht?

Grünes Licht hat $\lambda = 530\,\text{nm}$ . Warum kann man damit an Graphit keine Beugungsringe erzeugen?

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Die Bragg-Bedingung $\sin\theta = \frac{\lambda}{2d}$ ist nur für $\lambda \le 2d$ erfüllbar. Mit $2 d_1 = 0{,}43\,\text{nm}$ ist Licht rund tausendmal zu langwellig. Elektronen mit einigen kV haben dagegen Wellenlängen im pm-Bereich.

Ideen für den Unterricht

Einsatz: in der Oberstufe beim Thema Quantenobjekte und Welle-Teilchen-Dualismus; die genaue Einordnung bitte am Lehrplan prüfen. Gut als Vor- oder Nachbereitung des Realexperiments mit der Elektronenbeugungsröhre: Hier lässt sich in Ruhe messen, auch ohne Hochspannung im Raum.
Möglicher Ablauf: erst das Ringmuster beobachten und die Wellenhypothese diskutieren, dann $\lambda = \frac{h}{p}$ herleiten, mit dem Messkreis Radien ablesen und schließlich über die Linearisierung den Netzebenenabstand bestimmen. Mit „Werte im Bild anzeigen“ aus (val=0) werden die Ergebnisse verdeckt.
Modell: ebener Schirm, nur die beiden Hauptringe, Messwerte mit etwa $1{,}5\,\%$ Ablesefehler. Ein Teil der Elektronen geht ungebeugt durch (heller Fleck in der Mitte).
Häufige Stolpersteine:
- „Die Elektronen werden an den Atomen abgelenkt wie Kugeln.“ – Dann gäbe es keine scharfen Ringe; erst die Welle mit fester Wellenlänge erklärt die festen Winkel.
- „Der Ringradius ist der Netzebenenabstand.“ – $r$ hängt von $L$ , $\lambda$ und $d$ ab; große Ringe gehören zu kleinem $d$ .
- „Höhere Spannung, größere Ringe.“ – Umgekehrt: schnellere Elektronen haben kürzere Wellenlängen.
- Beim Messen wird oft der Durchmesser $D$ abgelesen; dann gilt $D \approx \frac{2 L \lambda}{d}$ .
Weiterführend: Doppelspalt mit Elektronen, Elektronenmikroskop, Bragg-Reflexion von Röntgenstrahlen, Photoeffekt.